Площадь прям треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника необычным способом

В зависимости от вида треугольника выделяют сразу несколько вариантов нахождения его площади. К примеру, для вычисления площади прямоугольного треугольника используется формула S= a * b / 2, где а и b - это его катеты. Если же требуется узнать площадь равнобедренного треугольника, то необходимо делить на два произведение его основания и высоты. То есть, S= b*h / 2, где b – это основание треугольника, а h – его высота.

Далее, может понадобиться расчет площади равнобедренного прямоугольного треугольника. Здесь приходит на помощь следующая формула: S= a* а / 2, где катеты «а» и «а» – обязательно должны быть с одинаковыми значениями.

Также, нам часто приходится вычислять площадь равностороннего треугольника. Она находится по формуле: S= a * h/ 2, где a – сторона треугольника, и h – его высота. Или по этой формуле: S= √3/ 4 *a^2, где a - сторона.

Как находить площадь прямоугольного треугольника

Вам нужно найти площадь прямоугольного треугольника, но при этом в условии задачи не указаны размеры сразу двух его катетов? Тогда этой формулой (S= a * b / 2) мы не сможем воспользоваться напрямую.

Рассмотрим несколько возможных вариантов решения:

• Если Вам неизвестна длина одного катета, но даны размеры гипотенузы и второго катета, то обращаемся к великому Пифагору и по его теореме (a^2+b^2=c^2) высчитываем длину неизвестного катета, затем используем ее для расчета площади треугольника.
• Если дана длина одного катета и градусный наклон угла противолежащего ему: находим длину второго катета по формуле - a=b*ctg(C).
• Дано: длина одного катета и градусный наклон угла прилежащего к нему: для нахождения длины второго катета применяем формулу - a=b*tg(C).
• И последнее, дано: угол и длина гипотенузы: вычисляем длину обеих его катетов, по таким формулам - b=c*sin(C) и a=c*cos(C).

Как находить площадь равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника можно очень легко и быстро найти по формуле S= b*h / 2, но, при отсутствии одного из показателей, задача значительно усложняется. Ведь необходимо выполнять дополнительные действия.

Возможные варианты задач:

• Дано: длина одной из боковых сторон и длина основания. Находим через теорему Пифагора высоту, то есть длину второго катеты. При условии, что длина основания, разделенная на два, является катетом, а изначально известная боковая сторона – гипотенузой.
• Дано: основание и угол между боковой стороной и основанием. Вычисляем по формуле h=c*ctg(B)/2 высоту (не забываем сторону «c» разделить на два).
• Дано: высота и угол, который был образован основанием и боковой стороной: применяем формулу c=h*tg(B)*2 для нахождения высоты, и полученный результат умножаем на два. Далее вычисляем площадь.
• Известна: длина боковой стороны и угол, который образовался между ним и высотой. Решение: используем формулы - c=a*sin(C)*2 и h=a*cos(C) для нахождения основания и высоты, после чего считаем площадь.

Как найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника

Если все данные известны, то по стандартной формуле S= a* a / 2 вычисляем площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если же в задаче не указаны некоторые показатели, то выполняются дополнительные действия.

Например: нам не известны длины обеих сторон (мы помним, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике они равны), но дана длинна гипотенузы. Применим теорему Пифагора для нахождения одинаковых сторон «a» и «a». Формула Пифагора: a^2+b^2=c^2. В случае с равнобедренным прямоугольным треугольником она преобразовывается в такую: 2a^2 = c^2. Получается, чтобы найти катет «а», нужно длину гипотенузы поделить на корень из 2. Результат решения и будет длинной обеих катетов равнобедренного прямоугольного треугольника. Далее находим площадь.

Как найти площадь равностороннего треугольника

С помощью формулы S= √3/ 4*a^2 можно легко высчитать площадь равностороннего треугольника. Если известен радиус описанной окружности треугольника, то площадь можно найти по формуле: S= 3√3/ 4*R^2, где R - радиус окружности.

На уроках геометрии в средней школе всем нам говорили о том, треугольника. Однако в рамках школьной программы мы получаем только самые необходимые знания и учимся наиболее распространенным и стандартным способам вычислений. Существуют ли необычные способы нахождения этой величины?

В качестве введения вспомним, какой треугольник считается прямоугольным, а также обозначим понятие площади.

Прямоугольным треугольником называют замкнутую геометрическую фигуру, один из углов которой равен 90 0 . Неотъемлемыми понятиями в определении являются катеты и гипотенуза. Под катетами подразумевают две стороны, которые в точке соединения образуют прямой угол. Гипотенуза - сторона, противоположная прямому углу. Прямой треугольник может быть равнобедренным (две его стороны будут иметь одинаковую величину), но никогда не будет равносторонним (все стороны одной длины). Определения высоты, медианы, векторов и прочих математических терминов подробно разбирать не будем. Их легко найти в справочниках.

Площадь прямого треугольника. В отличие от прямоугольников, правило о

произведении сторон в определении не действует. Если говорить сухим языком терминов, то под площадью треугольника понимают свойство этой фигуры занимать часть плоскости, выраженное числом. Довольно сложно к восприятию, согласитесь. Не будем пытаться глубоко вникнуть в определение, наша цель не в этом. Перейдем к главному - как найти площадь прямоугольного треугольника? Сами вычисления производить не будем, укажем только формулы. Для этого определимся с обозначениями: A,B,C - стороны треугольника, катеты - AB, BC. Угол ACB - прямой. S - площадь треугольника, h n n - высота треугольника, где nn - сторона, на которую она опущена.

Способ 1. Как найти площадь прямоугольного треугольника, если известна величина его катетов

Способ 2. Находим площадь равнобедренного прямоугольного треугольника

Способ 3. Вычисление площади через прямоугольник

Достраиваем прямоугольный треугольник до квадрата (если треугольник

равнобедренный) или прямоугольника. Получим простой четырехугольник, составленный из 2-х идентичных прямоугольных треугольников. В этом случае значение площади одного из них будет равно половине площади полученной фигуры. S прямоугольника вычисляем произведением сторон. Обозначим эту величину M. Искомое значение площади будет равно половине M.

Способ 4. «Пифагоровы штаны». Знаменитая теорема Пифагора

Мы все помним ее формулировку: «сумма квадратов катетов...». Но не все могут

сказать, причем тут некие «штаны». Дело в том, что изначально Пифагор изучал взаимосвязь построенных на сторонах прямого треугольника. Выявив закономерности в соотношении сторон квадратов, он смог вывести и известную всем нам формулу. Ее можно применять в случае, когда неизвестна величина одной из сторон.

Способ 5. Как найти площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Тоже достаточно простой способ расчета. Формула предполагает выражение площади треугольника через числовые значения его сторон. Для расчетов необходимо знать величины всех сторон треугольника.

S = (p-AC)*(p-BC), где p = (AB+BC+AC)*0.5

Кроме приведенных, существует множество других способов найти величину такой загадочной фигуры, как треугольник. Среди них: вычисление методом вписанной или описанной окружности, вычисление при помощи координат вершин, использование векторов, абсолютной величины, синусов, тангенсов.

В элементарной геометрии прямоугольным треугольником называется фигура, состоящая из трёх отрезков соединённых в точках, с углами два из которых острые, а один прямой (то есть равен 90°). Прямоугольный треугольник характеризуется целым рядом важных свойств, многие из которых составляют основу тригонометрии (например, соотношения между его сторонами и углами). Еще со школьной скамьи все мы знаем, как вычислить площадь прямоугольного треугольника , а в повседневной жизни встречаемся с этой геометрической фигурой достаточно часто, порой даже не замечая этого. Достаточно широкое применение находит она в технике и поэтому такую задачу, как , часто приходится решать инженерам, конструкторам и архитекторам.

Зодчим определять эту величину требуется тогда, когда они проектируют здания с фронтонами, которые являются завершением фасадов и имеют треугольную форму ограниченную карнизом, а по бокам – скатами крыши. Нередко угол между скатами бывает прямой, и в таких случаях фронтон имеет форму прямоугольного треугольника. Определять его площадь требуется по той простой причине, что необходимо точно знать количество строительного материала, необходимого для его обустройства. Следует заметить, что фронтоны являются обязательными элементами малоэтажных строений (загородных домов, коттеджей, дач).

Нахождение площади прямоугольного треугольника

a - катет

b - катет

S - площадь прямоугольного треугольника

Форму прямоугольного треугольника имеют многие детали, из которых изготавливается современная мебель. Как известно, для того чтобы наиболее рационально использовать площадь помещений, все элементы обстановки должны размещаться в ней оптимальным образом. С пользой задействовать такие зоны, как углы, можно с помощью столов треугольной формы, столешницы которых в большинстве случаев представляют собой прямоугольные треугольники с катетами, вплотную прилегающими к стенам. При проектировании и расчете этих элементов конструкторы мебельного производства применяют формулу, по которой нахождение площади прямоугольного треугольника осуществляется на основе длины его сторон. Кроме того, им нередко приходится разрабатывать конструкции столиков, крепящихся непосредственно к стенам, в состав которых входят опорные элементы, также представляющие собой прямоугольные треугольники .

Строителям, занимающимся облицовочными работами, нередко в своей профессиональной деятельности приходится использовать керамическую плитку, имеющую форму прямоугольного треугольника с катетами одинаковой или различной длины. Им также приходится определять площадь этих элементов для того, чтобы выяснить необходимое их количество.

Форму прямоугольного треугольника имеет и такой важный и необходимый измерительный инструмент, как угольник. С его помощью производится построение и контроль прямых углов, а используется он очень широко и многими: от обычных школьников на уроках геометрии до конструкторов суперсовременной техники.

Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов равняется 90°. Его площадь можно найти, если известны два катета. Можно, конечно, пойти и длинным путем – найти гипотенузу и просчитать площадь по , но в большинстве случаев это только займет лишнее время. Именно поэтому формула площади прямоугольного треугольника выглядит так:

Площадь прямоугольного треугольника равняется половине произведения катетов.

Пример расчета площади прямоугольного треугольника.
Дан прямоугольный треугольник с катетами a = 8 см, b = 6 см.
Вычисляем площадь:
Площадь равна: 24 см 2

Также в прямоугольном треугольнике применяется теорема Пифагора. – сумма квадратов двух катетов равняется квадрату гипотенузы.
Формула площади равнобедренного прямоугольного треугольника вычисляется также как и обычного прямоугольного треугольника.

Пример расчета площади равнобедренного прямоугольного треугольника:
Дан треугольник с катетами a = 4 см, b = 4 см. Вычисляем площадь:
Вычисляем площадь:=8 см 2

Формула площади прямоугольного треугольника по гипотенузе может использоваться, если в условии дан один катет. Из теоремы Пифагора находим длину неизвестного катета. К примеру, дана гипотенуза c и катет a , катет b будет равен:
Далее вычисляем площадь по обычной формуле. Пример расчета формулы площади прямоугольного треугольника по гипотенузе идентичен описанному выше.

Рассмотрим интересную задачу, которая поможет закрепить знания формул для решения треугольника.
Задача : площадь прямоугольного треугольника равняется 180 кв. см. найдите меньший катет треугольника, если он меньше второго на 31 см.
Решение : обозначим катеты a и b . Теперь подставим данные в формулу площади:, еще мы знаем, что один катет меньше другого a – b = 31 см
Из первого условия получаем, что
Подставляем данное условие во второе уравнение:

Так как мы находили стороны, то знак минус убираем.
Получается, что катет a = 40 см, а b = 9 см.